최소 분산 포트폴리오 개념 이해하기

최소 분산 포트폴리오 개념 이해하기

최소 분산 포트폴리오 개념 이해하기

최소 분산 포트폴리오에 대해서 살펴보도록 하겠습니다. 포트폴리오라고 하는 것은 여러 가지 다양한 자산을 구성하는 것입니다. 우리는 그것을 평면으로 쉽게 나타내기 위해서 자산을 두 개를 혼합해서, 분산 투자해서 포트폴리오 구성하는 것을 주로 살펴보고 있습니다. 실제로는 두 개가 아니라 여러 개의 다양한 자산을 가지고 포트폴리오를 구성합니다. 포트폴리오를 이렇게 구성했을 때 위험 관리라는 관점에서 보면 우리가 구성한 포트폴리오가 어떤 적정 수준의 기대수익률을 달성하면서 위험을 어느 정도 최소화할 수 있느냐 하는 것이 포트폴리오의 중요한 내용이 됩니다. 여기서는 최소 분산 포트폴리오라는 개념을 우리가 도입을 해서 이게 어떤 의미인지, 그리고 위험성을 최소로 하기 위한 그런 포트폴리오를 어떻게 구성할 수 있는지 그러한 내용들을 살펴보도록 하겠습니다.

최소 분산 포트폴리오라는 개념

최소 분산 포트폴리오의 정의는 다음과 같습니다. 포트폴리오 기회 집합이라고 하는 것은 두 자산을 분산 투자해서 얻을 수 있는 포트폴리오가 상당히 많이 있겠죠. 그것을 모아놓은 집합을 포트폴리오 기회 집합, 여기서 기회 opportunity라는 것을 사용하는 것은 자산에 투자, 그런 포트폴리오에 투자할 기회를 갖는다는 점에서 기회 집합이라는 용어를 사용합니다. 그러니까 기회라고 하는 것은 투자 기회를 가질 수 있는 기회라고 보는 것이겠죠. 그래서 포트폴리오 기회 집합 중에서 분산을 최소로 하는 포트폴리오, 이것을 달리 풀어서 얘기를 하면 우리가 구성해서 얻을 수 있는 모든 가능한 포트폴리오 중에서 그 포트폴리오는 결국 자산에 얼마큼 배분 비중을 하느냐, 배분 비중에 따라서 포트폴리오가 나타난다고 말씀을 드렸지요. 그래서 배분 비중이 달라지면서 다양한 포트폴리오를 구성할 수 있는 것인데, 그러한 가능한 모든 포트폴리오 중에서 분산이 최소가 되는, 또는 표준 편차가 최소가 되는, 결국 위험성이 최소가 되는 포트폴리오를 우리는 최소 분산 포트폴리오라고 부르는 것입니다. 그러면 포트폴리오 중에서 위험을 최소화하는 것을 어떻게 구할 수 있는지 여기서는 수학적인 풀이과정으로 살펴보도록 하겠습니다. 수학적으로 보면 목적 함수로 가질 수 있는 것은 결국 분산을 최소화하는 것이기 때문에 분산, rp라고 하는 것은 여기서 포트폴리오의 수익률의 분산이 됩니다.

포트폴리오 수익률의 분산

포트폴리오 수익률의 분산은 두 자산으로 구성한 포트폴리오라고 한다면 그 각각의 가중치, 이미 우리가 알고 있는 각 자산의 분산, 그다음에 그 두 자산의 공분산 이렇게 공식으로 나타낼 수가 있는 것이죠. 그 목적 함수인 rp의 분산을 최소화하는데 여기에 단서가 되는 제약 조건이 있습니다. 바로 wa와 wb는 두 자산의 그 배분 비중인데 그 배분 비중의 합은 1이 되는 것이죠. 그래서 결국 그러한 제약을 가지고 이렇게 주어진 rp, 즉 포트폴리오 수익률의 분산을 최소화하는 문제를 풀면 거기서 도출되는 해가 바로 이 최소 분산 포트폴리오입니다. 이 해라고 하는 우리가 구하고자 하는 것은 여기서 분명히 포트폴리오를 구해야 되기 때문에 포트폴리오는 그 자산의 배분 비중으로 나타낼 수 있다고 했죠. wa와 wb가 실제로 각각 얼마인지를 구하는 것이 되겠습니다. 그래서 그렇게 구한 것이 바로 최소 분산 포트폴리오입니다.